在数学345视频号第14期《对称》中我们讲到了镜像对称。镜像对称可以通过镜像变换实现。镜像变换通常是关于某个轴或直线做翻转操作操作。 在图像处理中，常见的是水平镜像和垂直镜像。

水平镜像是关于垂直中轴线的镜像，即图像沿着垂直中轴线左右翻转。如下图：

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下面给大家展示下DALL-E3、MidJourney 生成的图。

在计算机中，字符可以进行大小比较，ASCCI码字符大小关系如图(ASCCI码字符大小)，和数轴类似，左边的字符小于右边的字符。而字符串由字符组成，因此简单的字符串排序方法，可以逐字符进行大小比较排序。

ASCCI码字符大小

例如 a9.txt, a10.txt, 假设按字符升序逐个排序，则排序的结果为a10.txt, a9.txt。第1个字符双方都是'a'，大小相等；由于按升序排序，第2个字符'1'排在字符'9'前面，即'1'<'9'，因此'a1'排在'a9'前面，后面就不需要再继续比较了。

ChatGPT-3.5 ChatGPT-4 的火爆程度已经不用多说了。ChatGPT 能和人自然的对话交流、写代码、翻译，回答各学科的问题，还能进行内容创作，如写小说等等。特别是 ChatGPT-4 从官方宣传的功能来看，还具有视觉功能，比如能根据你的描述生成图片，还能识别理解图片中的物体对象，以及它们的位置关系等等。

想必大家已经被震惊了，反正我是被震惊了!  于是，我们自然要问：ChatGPT 是人类梦寐以求的通用人工智能(Artificial General Intelligence AGI)吗？ 微软研究论文称ChatGPT-4  叩开了AGI的大门：GPT-4被合理地视为AGI的早期（但仍不完整）的版本。

仿射变换可以将矩形转换为平行四边形，可以挤压形状，但是必须保持两边平行。常见的是旋转、缩放、平移变换。缩放和平移比较简单，本文重点推导旋转缩放变换矩阵。

如下图，看图列式计算，这是一道求部分的题。我发现对于这类题，我女儿经常写成加法， 3+6=9，下面是我提醒她修改后的。

这是伯克利2013年秋数学博士资格的一道数论题。令 m=561，若 a 与m互素，证明

\[a^{m-1} \equiv 1 \pmod{m} .\]

古希腊哲学家苏格拉底曾言：“我唯一知道的就是我一无所知。”； 中国儒家学派创始人孔子曰：“知之为知之，不知为不知，是知也。”； 德国著名数学家希尔伯特则满怀信心地说道：“我们必须知道，我们必将知道。” 。我觉得希尔伯特和苏格拉底、孔子的说法并不矛盾，因为只有当你知道自己不知道时，才会去探寻，才会说“我们必须知道，我们必将知道”。

需求：查找 update_month 在指定范围，并且按 site 分组，返回分组中 update_month 最大的即最接近指定的时间的记录。site_test 这张表 (update_month, site) 已经建立了唯一索引。

select id, site, max(update_month) update_month, name     
from site_test 
where update_month <= '2022-12'
group by site;

我在看 Json web token (JWT) 的时候，发现网上很多文章对 HMAC 有很多误解，比如在讨论 HMACSHA256/HMACSHA512 时，加密、私钥、签名各种误解混杂在其中。因此写了这篇文章，抛砖引玉。